Для ознакомления приведены задания по математике для 11 класса и ответы с авторским решением.
1. Коэффициенты многочлена
Многочлен P(x) = (2x² − x − 1)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
Найдите сумму a₀ + a₁ + … + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
Объяснение с решением
Многочлен
P(x) = (2x² − x − 1)⁸
преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + … + a₁₆.
Нужно найти сумму всех коэффициентов:
a₀ + a₁ + … + a₁₆.
Сумма всех коэффициентов многочлена равна значению многочлена при x = 1.
Подставим x = 1:
P(1) = (2 · 1² − 1 − 1)⁸ = (2 − 1 − 1)⁸ = 0⁸ = 0.
Значит,
a₀ + a₁ + … + a₁₆ = 0.
Ответ: 0
Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + … + a₁₆.
Решение с объяснением и ответ
Многочлен: P(x) = (2x² − x − 1)⁸.
Нужно найти a₀ + a₂ + … + a₁₆.
Используем:
P(1) = сумма всех коэффициентов,
P(−1) = сумма чётных минус сумма нечётных.
Тогда:
a₀ + a₂ + … + a₁₆ = (P(1) + P(−1)) / 2
Считаем:
P(1) = (2 − 1 − 1)⁸ = 0⁸ = 0
P(−1) = (2 + 1 − 1)⁸ = 2⁸ = 256
Значит:
a₀ + a₂ + … + a₁₆ = (0 + 256) / 2 = 128
Ответ: 128
2. Разбиение треугольника
На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′, B′ и C′ так, что отрезки AA′, BB′ и CC′ пересекаются в точке M. Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 5, а площадь треугольника BMC′ равна 10.
Найдите площадь треугольника MCB′.
Ответ: 10
Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ: 60
3. Колебания
В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до сотых. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Пусть f(x) = sin(x + π/4) · sin(x + 3π/4) · sin(x + 5π/4) · sin(x + 7π/4).
Найдите наибольшее значение функции f(x).
Ответ: 0,25
Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y).
Ответ: 0,25
4. Очень дружный класс
В одном очень дружном классе, состоящем из 24 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
Ответ: 8
Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Ответ: 610
5. Минимальное расстояние
Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N, что углы ∠AMB и ∠DNC — прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 4. Найдите периметр исходного шестиугольника.
Ответ: 48
6. Последовательность
Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1/4, aₙ₊₁ = aₙ / (1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, …. Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N, где N — некоторое натуральное число.
Чему равно N?
Ответ: 6079
Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
Ответ: 334
7. Одинаковые цифры
Натуральное число A кратно 99, а его десятичная запись состоит только из восьмёрок. Натуральное число B кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не восьмёрка, а все остальные – восьмёрки.
Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A? Запишите наименьший из возможных ответов.
Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B? Запишите наименьший из возможных ответов.
Запишите наименьшее из возможных значений B.
8. Рожки
Пятеро ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число.
Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов.
Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных».
Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой».