Исключительно в качестве ознакомления приведены задания и ответы по математике с авторским решением за 11 класс.
1. Площадь трапеции
В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT. Диагональ MP равна 11, а боковая сторона PT равна 7. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 57,75
2. Многочлен
Многочлен P(x) = (x² − 5x + 4)⁴ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x⁸ + a₁x⁷ + ⋯ + a₈.
Найдите свободный коэффициент a₈ этого многочлена.
Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₈ всех коэффициентов многочлена.
Решение
Найдём свободный член и сумму коэффициентов.
1. Свободный коэффициент a⁸
Свободный член — это значение многочлена при x=0:
P(0) = (0² — 5 * 0 + 4)⁴ = 4⁴ = 256
Значит, a⁸ = 256
2. Сумма всех коэффициентов
Сумма коэффициентов многочлена равна P(1):
P(1) = (1² — 5 * 1 + 4)⁴ = (1 — 5 + 4)⁴ = 0⁴ = 0
Значит, a⁰ + a1 + … + a8 = 0
Ответ:
Свободный коэффициент: 256
Сумма коэффициентов: 0
3. Натуральные делители
Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 18 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Решаем
Наименьшее натуральное число, у которого ровно 18 различных натуральных делителей, — это 180.
Почему:
Число делителей определяется по формуле: если n = p₁^a₁ · p₂^a₂ · …, то число делителей d(n) = (a₁+1)(a₂+1)…
Нужно d(n) = 18. Разложения 18 на множители:
18 = 18 → n = p^17 (слишком большое)
18 = 9 · 2 → n = p^8 · q^1
18 = 6 · 3 → n = p^5 · q^2
18 = 3 · 3 · 2 → n = p^2 · q^2 · r^1
Проверяем минимальные варианты:
p^8 · q: 2^8 · 3 = 768
p^5 · q^2: 2^5 · 3^2 = 288
p^2 · q^2 · r: 2^2 · 3^2 · 5 = 180
Ответ: 180
4. Пенальти
Футболист бьёт четыре пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,5 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из четырёх ударов будет забито ровно два»?
Какова вероятность того, что из четырёх ударов будет забито ровно два? В качестве ответа вводите число.
Решение и ответ
Всего 3 подходящих варианта:
1. Н З Н З — вероятность 0,5 * 1 * 0,5 * 1 = 0,25
2. Н З З Н — вероятность 0,5 * 1 * 0,5 * 0,5 = 0,125
3. З Н З Н — вероятность 0,5 * 0,5 * 1 * 0,5 = 0,125
Складываем:
0,25 + 0,125 + 0,125 = 0,5
Ответ: 0,5
5. Трафик
В стране 20 городов, некоторые из них соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 3 дороги. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
Сколько всего дорог в этой стране?
Решение и ответ
20 городов, из каждого выходит 3 дороги.
Всего «выходов» дорог: 20 × 3 = 60.
Но каждая дорога соединяет 2 города, поэтому считаем каждую дважды.
Значит, дорог: 60 ÷ 2 = 30
Ответ: 30 дорог
Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Решение
Чтобы маршрут между любыми двумя городами был ровно один (без циклов), граф должен стать деревом.
В дереве с 20 вершинами всегда 19 рёбер.
Сейчас дорог 30.
Значит, нужно закрыть:
30 − 19 = 11 дорог
Ответ: 11 дорог
7. Фонари на шоссе
Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 2030 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
Решение и ответ
Ширина — 20 м, радиус — 25 м.
Если ставить фонари с двух сторон в шахматном порядке, то до середины дороги (10 м) максимальное расстояние вдоль дороги:
√25² — 10² = √525 ≈ 22,91 м.
Значит, два соседних фонаря (с разных сторон) могут стоять на расстоянии до 22,91 + 22,91 ≈ 45,82 м.
Длина 2030 м.
Число промежутков: 2030 / 45,82 ≈ 44,3 → нужно 45 промежутков.
Фонарей: 45 + 1 = 46?
Но крайние можно поставить ближе к торцам (не более 22,91 м), поэтому промежутков 44, фонарей 45.
Ответ: 45
8. Лестница
Лестница на чердак состоит из 10 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
Решение и ответ
Обозначим a(n) — число способов подняться на n-ю ступеньку.
a1 = 1
a2 = 2
На любую следующую ступеньку можно попасть либо с предыдущей (шаг на 1), либо через одну (шаг на 2), поэтому:
an = a(n-1) + a(n-2)
Считаем:
a3 = 1 + 2 = 3
a4 = 2 + 3 = 5
a5 = 3 + 5 = 8
a6 = 5 + 8 = 13
a7 = 8 + 13 = 21
a8 = 13 + 21 = 34
a9 = 21 + 34 = 55
a10 = 34 + 55 = 89
Ответ: 89 способов