Исключительно в качестве ознакомления приведены задания и ответы.
1. Купля-продажа
Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой 20% от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи 20% прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
Ответ: 50
2. Вписанный четырёхугольник
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O, причём точка O лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол DAB равен 108°, угол BOC равен 90°.
Ответ: 27
3. Раскраска полосы
Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером 3×8 клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Ответ: 4
Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Ответ: 18
4. Разбиение четырёхугольника
Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны 6 см², 8 см² и 12 см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
Ответ: 3
Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Ответ: 29
5. Разность квадратов
Число 21609 представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел x и y: 21609 = x² − y².
Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 7
Чему равно наибольшее возможное значение x?
Ответ: 10805
Чему равно наименьшее возможное значение y?
Ответ: 140
6. Дружный класс
В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло 16 учеников дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
7. Число в квадрате
В квадрате записаны 9 цифр так, как это показано на рисунке.
Сергей хочет составить число, подчиняющееся следующим правилам:
все цифры этого числа различны;
оно больше 1000000;
любые две соседние цифры числа должны быть соседними по стороне цифрами в данной таблице.
Какое наименьшее число может получить Сергей?
Какое число наибольшее может получить Сергей?
8. Физики и математики
Сергей Александрович ведёт занятия в двух школьных кружках: «Олимпиадная математика» и «Олимпиадная физика». Каждый из 20 учеников его класса занимается хотя бы в одном из двух этих кружков. Математику посещает 12 учеников, а физику – только 10. Для участия в командном школьном турнире по математике нужно выбрать каких-то трёх учеников, занимающихся в кружке «Олимпиадная математика», а для участия в турнире по физике – троих участников кружка «Олимпиадная физика». Так как турниры проходят в один день и в одно время, то одних и тех же ребят привлечь к обоим состязаниям нельзя.
Сколькими способами можно собрать только команду на турнир по физике?
Сколькими способами можно собрать две команды (одна команда физиков и одна команда математиков) для двух этих турниров?