Математическая вертикаль, 7 класс
Задача 1.
Разрежьте фигуру «рыбку» на 5 равных частей (части должны быть равны и по форме, и по размеру).
Ответ можно посмотреть в картинке
Задача 2.
Катя каждый день ест на завтрак либо кашу, либо яичницу, либо сырники, но никогда не ест два дня подряд одно и тоже. В течение двух недель Катя записывала, чем она завтракала. Оказалось, что сырники она ела в два раза чаще, чем кашу. Сколько раз за эти две недели Катя завтракала кашей, сколько — яичницей и сколько — сырниками?
Ответ — 3 раза кашей, 5 раз яичницей, 6 раз сырниками
Задачи 3 и 5
Вася считает время красивым… ответ здесь под номером три. И там же ответ на задачу про Карлсона, который ест варенье вдвое быстрее, чем Малыш (номер 6).
Задача 4.
У математика есть набор из 16 гирь: 1/3 кг, 1/4 кг, 1/5 кг, …, 1/18 кг. На левой чаше весов лежит груз 1 кг. Какие гири положить на правую чашу весов, чтобы уравновесить груз?
Ответ: три возможных варианта, а именно
1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/9 + 1/12 + 1/18,
1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/10 + 1/12 + 1/15,
1 = 1/3 + 1/4 + 1/9 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Задача 6.
На рисунке ∆АВС равносторонний, AE = ED = DF = FB = EF. Докажите, что ∆CEF равносторонний.
Решение:
Проведём отрезки CE и CF и рассмотрим ∆АЕС и ∆BFC.
В них равны стороны АС = ВC, AE = BF;
покажем, что углы между этими сторонами также равны.
Пусть угол CBF = a.
Тогда угол FBD = углу CBD — угол FBD = 60° — а.
Так как FBD равнобедренный, то угол FDB = 60° — a.
∆EFD равносторонний, поэтому угол EDF = 60°.
Значит, угол EDA = 180° — угол EDF — угол FDB = 180° — 60° — (60° — a) = 60° + a.
∆EAD равнобедренный, поэтому угол EAD = угол EDA = 60° + a.
Тогда угол EAC = углу EAD — угол CAB = 60° + a — 60° = a.
Значит, ∆АЕС и ∆BFC равны по двум сторонам и углу между ними.
Соответственно, CE = CF, а также угол ECA = углу FCB.
Заметим, что
Угол ECF = углу ECA + угол ACF = угол FCB + угол ACF = угол ACB = 60°.
Таким образом, ∆ЕСF равнобедренный с углом в 60°, значит он равносторонний.